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来源：量化先行者
摘要
文献来源：Fama E F , French K R . Comparing Cross-Section and Time-Series Factor Models[J]. The Review of Financial Studies. 2020, 33(5): 1891-1926.
推荐原因：我们使用Fama和MacBeth(1973)的横截面回归方法构建了与Fama和French(2015)的时序因子相对应的横截面因子。实证结论表明，只使用横截面因子的时间序列模型比使用时间序列因子的时间序列模型能更好地解释股票投资组合平均收益。无论我们对因子施加固定载荷或时变载荷，该结论都成立。
1. 简介
时间序列资产定价模型中的因子常常被Fama和MacBeth（1973）的截面回归所论证，即平均收益与资产特征相关。例如，Fama和French的三因子模型遵循以下论据：规模(市值，MC)和账面市值比(BM)反映了Sharpe和Lintner的资本资产定价模型(CAPM)所遗漏的股票平均回报率的差异。同样，Fama和French的五因子模型遵循FM截面回归的证据，在三因子模型的基础上增加了盈利能力和投资能力的差异。
FM回归是资产定价研究的常用工具。大多数实践应用中将FM回归作为一种研究特征值与平均回报具有时变相关性的方法。从这里延伸到我们的发现也许只有一步之遥，当像式(2)那样重新排列并叠加在t上时，像式(1)这样的FM截面回归就变成了具有预先指定的时间可变载荷的时间序列因子模型。我们有理由相信，这种关于FM回归的观点能够改善我们看待和应用它们的方式。
我们使用式(2)作为一个时间序列模型(模型，而不是回归)来描述一个多维资产的平均收益，我们将式(2)的表现与FF(2015)模型中使用时间序列因子的表现进行比较。
我们展示了使用恒定载荷的模型(3)和(4)的结果，但我们更感兴趣的是使用TV载荷的模型(2)和(5)之间的对比。
模型(1)到模型(5)的因子可以由股利折现模型(FF 2015)的合理定价模式驱动。在一个理性定价的世界里，收益动量很难让人信服，人们可能会把动量视为一种反常现象，上面概述的模型无法解释这种反常现象。然而，我们的经验是，读者对包含动量因子的模型性能会如何变化常常感到好奇。我们研究了增加动量因子的模型(1)到(5)的变体。我们发现，在投资组合中，动量因子对解释组合投资回报的形成很重要，但它们对资产定价模型的贡献不大。
我们的主要结论是，模型(2)——解释了LHS超额回报，并且只使用CS因子和预先指定的时变载荷——优于本文考虑的所有其他模型。至少在我们研究的LHS组合中，(2)的优势更多的是由于其CS因子，而不是TV载荷。当我们通过将TV载荷的特征替换为其时间序列平均值来约束模型时，模型的性能仅略有下降，而且与除(2)以外的模型相比，它仍然产生更小的定价误差。
2. 因子
2.1. 定义
我们基于每年6月底的数据构造了FF(2015)五因子模型(3)的时间序列(TS)规模、价值、盈利能力和投资因子。为了构建价值因子HML，纽约证券交易所(NYSE)、美国证券交易所(AMEX)和(1972年以后)纳斯达克股票首先按大小规模分成两组，使用6月底NYSE股票的市值中值作为断点。以纽约证券交易所股票的账面市值比(BM)的30和70百分位数作为断点，将股票独立地按账面市值比分为三组。BM是账面市值比的自然对数，使用每个财政年度结束时的数据。HML是大型股票的高账面市值比和低账面市值比组合的收益差与小型股票的高账面市值比和低账面市值比组合的收益差的平均值。
我们构建的盈利能力和投资因子，RMW和CMA，与HML采用的一样的方式，除了第二个分组因子是盈利能力或投资能力。盈利能力，OP，在T年6月的分组中，使用T - 1会计年度的会计数据，为收入减去营业成本，减去经营、一般和管理费用，减去利息费用，并除以账面价值。投资能力(INV)是总资产的增长率。规模因子SMB是三个2×3排序的9个小型股票投资组合的平均收益减去9个大型股票投资组合的平均收益。
用于构建价值因子HML的账面市值比BM每年6月底更新一次，使用的是12月底的旧价格。Asness和Frazzini(2013)认为，如果BM按当前价格每月更新一次，那么它可能会提供更多关于预期收益的信息。本文之前的版本比较了使用价值因子的模型的表现，这些模型基于月度和年度BM更新值，没有发现明确的赢家。为了更好地关注我们的主要问题—TS与CS因子—我们只展示按年度更新的BM因子模型的结果。
时间序列动量因子UMD (up - down)由2×3排序组别构成，与HML相同，只是第二个排序因子是MOM，即t - 12到t - 2月的累积收益除以11，以月为单位，UMD按月进行更新。和其他因子一样，UMD是小型和大型股票按动量分组的平均价差。
为了给截面(CS)和时间序列(TS)因子提供一个公平的竞争环境，月度截面回归(1)中产生CS因子的LHS资产是2×3排序后的18个市值加权投资组合，它们产生了TS因子SMB、HML、RMW和CMA。我们将产生UMD的6个2×3排序的VW投资组合添加到包含CS动量因子的LHS资产中。同样，在(1)的简单和动量增强版本中，作为LHS月收益解释变量的RHS变量值是2×3投资组合中预先设定的MC、BM、OP、INV和MOM变量值。对于个股而言，BM、OP、INV每年6月变化一次，MC和MOM每月变化一次。投资组合的所有变量值都是投资组合中股票市值加权平均值，价值(市值)权重按月变化。
使用相同的投资组合(那些来自2×3的排序)来产生TS和CS因子是很重要的。生成CS因子的截面回归逐月优化了对这些投资组合收益的描述。相反，TS因子的定义是任意的。由于相同的投资组合产生了TS和CS因子，我们测试中的一个核心问题是，CS因子的优化是否增强了对测试资产平均收益的解释，而不仅仅是那些产生因子。
2.2. 描述性统计
图1汇总了这些因子的统计数据。时间序列(TS)因子的结果在面板A中显示。所有的TS因子都有很高的平均收益，t统计量从规模因子SMB的 2.18升至动量因子UMD的4.12。
两组横截面回归(有或没有MOM)产生两组CS因子，它们之间没有重叠。这些因子的汇总统计数据见图1的面板B。大部分CS因子平均收益显著不等于0。例外的是不包含动量因子模型的价值因子。将MOM添加到包含BM的截面回归中，CS因子平均收益的t统计量从1.64增加到2.26。
3. 截面因子
图2还显示了产生CS因子的投资组合权重月度变化的标准偏差。权重的水平是高度自相关的，权重变化提供了更好的月度波动性视角。这些变化的标准差不大。这并不奇怪，因为产生权重的特征值会随着时间缓慢变化。
4. LHS投资组合
图3检验了时间序列和截面因子如何解释LHS投资组合的收益。LHS投资组合包括了来自独立的5×5排序、75个形成于6月底的MC和BM、OP或INV，以及25个月度MC和MOM。对于规模(MC)和5×5集合的第二个变量，都使用NYSE五分位断点。除了五分位断点外，5×5排序与产生时间序列因子的2×3排序相似。来自这5×5LHS投资组合使我们能够检查不同的模型在多大程度上捕获到因子模型对平均收益的解释度。
在更具挑战性的测试中，对比模型需解释Fama和French(2016)的异常投资组合回报。这些反常现象包括(i)长期困扰CAPM的单变量市场贝塔与平均回报率之间的单调关系；(ii)股票回购后的高平均收益和股票发行后的低收益；(iii)会计应计项目较多的公司股票平均收益较低；(iv)用日收益来衡量高波动股票的低平均收益。
正如上面所描述的模型特征的5×5排序一样，对于异常组合的第一个排序将股票分配给位于MC上的NYSE 五分位数。第二种方法(基于一个异常变量)也将股票分配给NYSE 五分位数，除了有7组净股票发行(NI)，包括净回购、无净发行和净发行的五分位数。第一次MC排序和第二次异常排序是独立的。
图3所示的LHS投资组合的平均收益模式在Fama和French(2016)中进行了讨论，在这里我们对其进行了简要的总结。市值越低的股票平均收益越高，但两者之间的关系存在噪音。平均收益随着账面市值比(BM)和营业利润(OP，价值和盈利能力的影响)的增加而增加，小市值股票的这种模式更强。第二轮投资(INV)、应计项目(AC)和波动率排序的主要特征是，在变量中最高的五分之一的平均收益大幅下降：极端的投资、应计项目和收益波动率往往伴随较低的平均收益，特别是对于市值较小的股票。回购股票的公司(负净发行，NI)未来平均收益更高，但NI排序的显著特征是，股票发行中最高的五分之一的股票在各规模组别中平均回报最低。最后，平均收益率和单变量市场贝塔之间的关系不明显：贝塔值最高和最低的五分位数的股票平均收益率相似。
5. 资产定价结论
图3的面板A检验了模型(3)、(4)和(5)的变量对上述5×5和异常组合平均收益的解释程度。性能指标包括Gibbons、Ross和Shanken(1989)的GRS统计量，该统计量能够综合测试模型的截距(定价误差)。我们还展示了截距的最大平方夏普比率，即GRS的核心。我们将a定义为模型的截距向量，Σ作为回归残差的协方差矩阵。截距的最大平方夏普比率是
图3面板B5中的第一个模型是没有RHS动量因子，也没有LHS动量组合的模型(2)。该模型可与面板A1前两行的模型(3)和(4)的变体相比较。同样，其性能比较也倾向于(2)。如果我们将面板B5中的第二个模型与面板A1中的第三个和第四个模型进行比较，这也是正确的，所有这些模型都有RHS动量因子，但是没有LHS动量组合。图3的A3和A4面板显示了模型(5)的结果，它估计了模型(3)的TS因子的TV载荷。由于TV载荷并没有显著提高模型(3)的平均回报预测，定价误差指标估计再次倾向于模型(2)而不是模型(5)。
简而言之，图3表明，面板B5和B6的模型(2)相比面板A的模型(3)、(4)和(5)提供了更好的平均收益描述。模型(2)的优势更多的是源于其CS因子，而不是TV载荷。面板B3和B4复制了B5和B6的模型，但TV载荷被时间序列平均值所取代。这种替换只引起了定价误差度量的一个小问题，而且模型(2)的这种恒定载荷方式也超越了模型(3)和(4)，以及模型(5)，其中包括TS因子的TV载荷。
时变载荷长期以来被认为是施加恒定因子载荷的资产定价模型应用中的一个潜在问题。模型(2)的一个优点是它的TV载荷是预先指定的特征值。然而，至少对于这里使用的LHS资产而言，(2)的TV载荷并不是其对平均收益更优描述的主要来源。模型(5)中TS因子的TV载荷似乎是恒定斜率模型(3)的自然附加，但对(3)提供的平均收益解释也没有多大帮助。
为什么在模型(2)中，恒定因子载荷几乎与时变载荷一样好？用A表示时间序列平均值，两者之差为资产标准化市值与CS规模因子之间的样本协方差，有：
回归(1)与模型(2)使用了标准化的特征值和恒定的截面平均值与标准偏差。与原始值相比，我们所考虑的LHS资产的标准化特征随时间变化很小，而且几乎没有理由预期第t - 1个月的标准化特征与第t个月的因子收益有很大的协方差。因此，当我们将模型(2)中的时变特征替换为它们的时间序列平均值时，定价误差度量几乎没有变化，这并不令人惊讶。TV载荷改善了模型的逐月拟合效果，但除非投资组合的月度标准化因子值能够预测下个月的因子回报，否则它们不会对模型的定价误差产生太大影响。
图3中模型(2)的优势是显著的，研究细节是有保证的。接下来的一节分析了5×5 MC-BM、MC-OP、MC-INV和MC-MOM排序的100个投资组合的结果。随后分析了110种异常投资组合。
6. 100个投资组合的结论
图4对100个5×5排序的投资组合重复了表3的工作。这是产生TS和CS规模、价值、盈利能力、投资和动量因子的2×3排序的更优版本，我们期望模型在表4中的表现比在表3中更好，其中LHS资产也包括了异常投资组合。
即使包含了TS动量因子UMD，MC- MOM排序仍然是模型(3)中一个长期存在的问题，而新模型(4)和(5)也没有更好的表现(表A4)。基于这些结果，人们可能会得出这样的结论：动量因子遗漏了许多动量平均回报。模型(2)性能好表现在定价误差指标上。虽然不那么显著，但是模型(2)在MC-BM和MC-INV中也体现出对定价误差度量的明显改进(表A1和A3)。7. 110个异象组合的结论
图5总结了110个 MC-Beta、MC-AC、MC-NI和MC-VAR异常组合的模型性能。我们关注于面板B2的模型(2)与面板A的模型(3)、(4)和(5)的性能比较。同样，面板B2测试测量的是LHS超额收益，并对CS因子施加预先指定的时变载荷。面板A中的模型(3)、(4)和(5)用市场超额收益与TS或CS规模、价值、盈利能力、投资和动量因子的时间序列回归解释了LHS的超额收益。
如图3和图4所示，模型(2)的表现优于其对照组别。与图3和图4一样，图5面板B2中模型(2)的强劲表现更多的是源于CS因子，而不是TV载荷。同样，用时间序列平均值替换(2)TV载荷的时间变化特征只会导致定价误差度量的轻微恶化，所得到的模型(表5面板B1)在面板A中的所有模型中均更优。
图4和图5的比较表明，对于每个模型，5×5排序的投资组合在模型特征上的性能都优于异常投资组合。因此，对于我们的模型来说，解释异常投资组合的平均回报通常比解释5×5投资组合在模型的平均回报更难。但有两个例外：
附录表A5到A8报告了对图5中合并的四种异常排序的单独测试。MC-AC组合的结果(表A5)出乎意料。当模型(3)、(4)和(5)被用于解释MC-AC组合投资回报时，它们在GRS上却被拒绝，但模型(2)使用CS因子的TV载荷的版本通过了p值为0的T检验。因此，当用TV载荷和CS因子解释时，应计项目的收益排序将失去其异常状态。
在表A6和A8中的MC-NI和MC-VAR排序的独立结论中，所有模型都被完全拒绝了，但是模型(2)又一次胜过了它的对照组别。MC-Beta(表A7)是模型(2)中唯一的例外。模型(2)在MC-Beta排序中表现良好，但是其他模型，包括一些估计TS因子的恒定载荷的模型，也表现得同样好。
在图3、4和5的综合结果中，模型(2)在定价误差指标上的优势几乎完全可以追溯到它的CS因子，而不是它的TV载荷。然而，表A1到A8中单独排序的结果可以潜在地识别TV载荷在其中扮演的更重要的角色。较高的拟合优度和较低的As(e)表示，TV载荷会吸收LHS回报方差，但从表A1至A8的定价误差指标判断，它们从未显著改善对平均回报的解释。然而，我们强调，在应用中使用模型(2)需要具备可获得的TV载荷的因子值。如果可以的话，我们应该使用(2)中的TV载荷，而不是通过替换时间序列平均值来降低它们的方差。
8. 结论
我们通过FM(1973)月度截面回归分析了规模、价值、盈利能力、投资和动量因子的表现。在资产定价模型中以两种方式使用这些CS因子。第一个是FF(2015)五因子模型(3)的时间序列因子的替代，将其扩展为包含TS动量因子的模型。含有TS因子的六因子模型为时间序列回归：
模型(8)和(9)是时间序列回归，分别对每个LHS资产i进行估计，对其预先指定的因子施加恒定载荷。(10)为月度截面模型，其中因子来自第一阶段的横截面回归，因子载荷为LHS资产的预定规模、价值、盈利能力、投资和动量特征。当(10)按月累加时，它就变成了一个具有时变因子载荷的模型，如果相关的时间序列特征对LHS资产可用，那么它就可以用于资产定价应用研究。
我们发现，无论有没有动量因子，模型(9)都比模型(8)更好地解释了我们所考虑的LHS资产的平均回报率。因此，恒定斜率的时间序列回归，衡量了LHS回报率超过无风险利率的超额收益，并包括了RHS因子中的超额市场回报率，CS的规模、价值、盈利能力、投资和动量因子比TS表现稍好。此外，对于TS因子允许施加自然时变载荷时，采用(5)的方式并不能显著改善定价误差度量。结论是，在使用等斜率时间序列回归的应用中，没有充分的理由去掉(3)和(8)的TS因子，而代之以(4)和(9)的CS因子。但是，由于(4)和(9)的因子载荷是OLS回归斜率，因此转换到CS因子是没有成本的。
我们的主要结论是，这里用到的LHS资产，使用时变值作为CS因子载荷的模型(2)和(10)，比恒定斜率时间序列模型(4)和(9)或(3)和(8)、或添加TV载荷的模型，对平均回报率提供了更好的解释。因此，当规模、价值、盈利能力、投资和动量可用时，模型(2)和(10)是首选。
我们的结论中一个吸引人的特性是稳健性。支持上述结论(i)在表3中，显示了我们所有的LHS资产组合的结果；(ii)在图4和图5中，显示的独立结果为5×5模型特征值(图4)和异常组合类型(图5)。
因子值的整体水平经过时间变化会导致CS因子随时间变化，这会影响论文的一些结果，包括每月波动组合权重。为了消除这种分散注意力的因子回报的变化，我们在产生它们的横截面回归中使用标准化的特征值。需要注意的是，标准化对截面模型(2)和(10)的结果没有影响。回归(1)中的标准化特征将每个月的CS因子重新标度，但重新标度在(2)和(10)中是相反的，因为标准化特征也被用作重新标度因子的载荷。无论输入是原始特征及其产生的因子还是标准化特征及其产生的因子，模型的月度预测和误差都是相同的。
我们通过解决一个核心问题来结束本文：如何解释模型(2)和(10)的最优地位？我们考虑的所有模型的平均回报截面变化与规模、价值、盈利能力、投资和动量特征相关。模型(2)和模型(10)的CS因子由相同的2×3 MC-BM、MC-OP、MC-INV和MC-MOM组合的收益构成，这些组合产生模型(3)、(5)和(8)的TS因子。然而，这些返回值用于生成TS因子的方式是任意的。相比之下，月度横截面FM OLS回归将收益和2×3组合的特征值结合，生成CS因子，优化了对这些组合逐月回报的描述。
产生CS因子的优化使用了特征值作为因子载荷。为了在描述其他资产回报时获得优化的全部好处，我们还必须使用它们的特征值作为因子载荷，如(2)和(10)中所示。在回归模型(4)和(9)中，简单地用CS因子代替TS因子并不能改善(3)和(8)使用TS因子对平均收益的描述。此外，通过OLS回归对CS因子进行优化其结果是相似的。如果我们知道截面回归(1)的干扰协方差矩阵，那么可以改善对广义最小二乘的优化。但通过OLS和特征优化的因子载荷显然比任意方法产生的TS因子更优，至少在描述LHS测试资产的平均回报率方面。
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